Cluster Jerárquico: VarCovid_provincias

Introducción

dataset

En este cuaderno vamos a analizar el dataset llamado VarCovid_provincias.xlsx, elaborado a partir de los datos publicados por el INE. Este dataset está compuesto por el número de fallecidos durante las semanas que duraron las respectivas olas, así como un promedio entre los años 2017, 2018 y 2019 del número de fallecidos en esas mismas semanas y la tasa de variación entre ambas para ver el exceso de muertes que se ha producido. Los datos han sido extraídos de la Operación 30324 Estimación de Defunciones Semanales (EDeS), que se encuentra dentro de la temática Salud (Sociedad). Esta última variable será la que nosotros utilicemos en nuestro estudio.

  • provincia: provincia
  • 1Ola: Tasa de variación entre el acumulado entre la semana 11 de 2020 y la semana 18, ambas incluidas, respecto a las mismas semanas del año anterior. Tiempo correspondiente a la primera ola
  • 2Ola: Tasa de variación entre el acumulado entre la semana 32 de 2020 y la semana 49, ambas incluidas, respecto a las mismas semanas del año anterior. Tiempo correspondiente a la segunda ola.

El objetivo de este estudio será aplicar un Análisis Cluster para hacer grupos de provincias en función de las variables 1Ola y 2Ola. Concretamente usaremos un cluster jerárquico.

Descripción del trabajo a realizar

Se pretende hacer un Análisis Cluster empleando el procedimiento Cluster Jerárquico de las provincias en función a las variables 1Ola y 2Ola.

  • Hacer un análisis exploratorio.
  • Ver si hay NA’s y si es necesario escalar los datos.
  • Plantear variables sobre las que se van a hacer los cluster.
  • Interpretar resultados.
  • Ver métodos Elbow y Silhouette si hay otro número óptimo de clusters y en ese caso repetir el estudio.

Análisis Exploratorio (EDA)

EDA viene del Inglés Exploratory Data Analysis y son los pasos relativos en los que se exploran las variables para tener una idea de que forma toma el dataset.

Cargar Librerías

# Librerías
library(readxl) # Para leer los excels
library(dendextend) # Para dendogramas
library(dplyr) # Para tratamiento de dataframes
library(ggplot2) # Nice plots
library(stats) # hclust package

library(factoextra) # fviz_cluster function

Lectura de datos

Ahora cargamos los datos del excel correspondientes a la pestaña “Datos” y vemos si hay algún NA o algún valor igual a 0 en nuestro dataset. Vemos que no han ningún NA (missing value) en el dataset luego no será necesario realizar ninguna técnica para imputar los missing values o borrar observaciones.

Cargamos entonces el conjunto de datos:

datos <- read_excel("../../../files/VarCovid_provincias.xlsx", sheet = "Datos")
  • Ver que no hay ningún NA en el dataset.
ifelse(sum(is.na(datos)) == 0, print("There is no NA in the dataset."), print("There is some NA in the dataset."))
[1] "There is no NA in the dataset."
[1] "There is no NA in the dataset."

Clustering: Cluster Jerárquico

Introducción

El Análisis Cluster es una técnica de aprendizaje no supervisado que agrupa datos similares en conjuntos, llamados clusteres. El objetivo es dividir un conjunto de datos en grupos homogéneos, donde los miembros de cada grupo son más similares entre sí que con los miembros de otros grupos, según algún criterio de similitud predefinido.

Concretamente, el Cluster Jerárquico realiza estos grupos -o clusters- de manera jerárquica y ascendente, es decir que sucesivamente van fusionando grupos desde el elemento individual (mayor nivel de grupos, uno por individuo) hacia arriba.

La representación de la jerarquía de cluster se representa por medio de un dendograma, en el que las sucesivas fusiones de las ramas a los distintos niveles nos informan de las sucesivas fusiones de los grupos en grupos de superior nivel (mayor tamaño, menor homogeneidad) sucesivamente:

Los pasos concretos del Cluster Jerárquico son:

  1. Matriz de distancia o similitud: Se calcula una matriz que mide la distancia o similitud entre cada par de observaciones. Algunas de las medidas comunes son:
    • Euclidiana: Mide la distancia más corta entre dos puntos en un espacio euclidiano. Es útil cuando las dimensiones tienen una escala similar y se desea tener en cuenta la magnitud absoluta de las diferencias.
    • Manhattan (o Cityblock): Calcula la suma de las diferencias absolutas entre las coordenadas de dos puntos. Es útil cuando las dimensiones no están en la misma escala y se quiere una medida robusta a los valores atípicos.
    • Gower: métrica de distancia utilizada específicamente para conjuntos de datos mixtos que contienen variables numéricas y categóricas. Esta distancia tiene en cuenta diferentes tipos de variables al calcular la similitud entre dos observaciones. Se define como una combinación ponderada de las distancias entre variables.
  2. Fusión de clusteres: En el enfoque aglomerativo, se fusionan gradualmente los clusteres más cercanos según la medida de distancia o similitud elegida. Esto nos lleva a la pregunta, ¿Cómo se calcula la distancia entre Clusters calcular la distancia o similitud entre clusteres en el proceso de agrupamiento jerárquico?. Existen varios métodos de enlace, destacando:
    • Enlace Simple (Single Linkage): Calcula la distancia entre clusteres como la distancia más corta entre cualquier punto de un cluster y cualquier punto del otro cluster. Es sensible a la presencia de valores atípicos y al fenómeno del encadenamiento.
    • Enlace Completo (Complete Linkage): Mide la distancia entre clusteres como la distancia más larga entre cualquier punto de un cluster y cualquier punto del otro cluster. Menos sensible a valores atípicos, pero puede generar clusteres de tamaño desigual.
    • Enlace Promedio (Average Linkage): Calcula la distancia entre clusteres como la media de todas las distancias entre pares de puntos, uno de cada cluster. Más robusto frente a valores atípicos que el enlace simple y menos propenso al encadenamiento que el enlace completo.
    • Enlace de Ward: Minimiza la varianza dentro de los clusteres al fusionarlos. Intenta minimizar la suma de cuadrados dentro de cada cluster después de la fusión.
  3. Representación jerárquica: Esto resulta en un dendrograma que muestra la jerarquía de agrupamiento, donde la altura en el dendrograma indica la distancia o disimilitud en la que se unen los clusteres.

El clustering jerárquico permite explorar diferentes niveles de granularidad en los datos, pero puede ser computacionalmente costoso para grandes conjuntos de datos. Es crucial elegir la medida de similitud adecuada y el método de enlace (criterio para unir clusteres, single linkage, complete linkage, average linkage,…) para obtener resultados significativos.

Modelo

Formulación

IMPORTANTE:

  • El escalado es un paso esencial en la fase de preprocesamiento de datos para los algoritmos de agrupación. Garantiza que cada característica contribuya por igual al proceso de decisión del algoritmo, lo que lleva a resultados de agrupación más precisos e interpretables.

Notar que la distancia más apropiada para usar es la Euclidea ya que ambas variables 1Ola y 2Ola son del mismo tipo y corresponden a meses consecutivos, es decir, representan el mismo fenómeno demográfico y en la misma escala (una vez hayamos escalado). Además como estamos interesados en la diferencia de estas variables a la hora de hacer cluster, esta es la distancia más adecuada.

En cuanto al método para hacer los clusters, vamos a dejar el que viene por defecto, el complete. Este se basa en medir la distancia entre clusteres como la distancia más larga entre cualquier punto de un cluster y cualquier punto del otro cluster. Menos sensible a valores atípicos, pero puede generar clusteres de tamaño desigual.

# Preparación de los datos
resultado <- datos[, c("1Ola", "2Ola")]

resultado <- scale(resultado) # scaling/standardizing
rownames(resultado) <- datos$provincia # Para que nos salgan luego los nombres
provincias <- datos$provincia

# Matriz de distancias
d <- dist(resultado, method = "euclidean")

# Hierarchical clustering using Complete Linkage
hc1 <- hclust(d, method = "complete")

# Plot the obtained dendrogram
plot(hc1, cex = 0.6, hang = -1)
abline(h = 3, col = "red", lty = 2)

En el dendrograma mostrado arriba, cada hoja corresponde a una observación. A medida que avanzamos en el árbol, las observaciones similares se combinan en ramas, las cuales a su vez se fusionan a una altura mayor.

La altura de la fusión, representada en el eje vertical, indica la (des) similitud entre dos observaciones. Cuanto mayor sea la altura de la fusión, menos similares son las observaciones. Es importante destacar que las conclusiones sobre la proximidad de dos observaciones solo se pueden inferir en función de la altura donde las ramas que contienen esas dos observaciones se fusionan inicialmente. No podemos usar la proximidad de dos observaciones a lo largo del eje horizontal como criterio de su similitud.

La altura del corte en el dendrograma controla el número de clusters obtenidos. Cumple el mismo papel que ‘k’ en la agrupación k-means. Para identificar subgrupos (es decir, clusters), podemos cortar el dendrograma con la función cutree. Suponer que queremos 3 clusteres:

# Cut tree into 3 groups
sub1 <- cutree(hc1, k = 3)

# Number of members in each cluster
table(sub1)
sub1
 1  2  3 
31 11 11

Podemos mostrar los grupos junto al dataframe con la función mutate del paquete dplyr.

# Mostrar Clusters
datos %>%
  mutate(cluster = sub1) %>%
  head()
# A tibble: 6 × 17
  provincia  falle_1Ola falle1_med17_19 `1Ola` falle_2Ola falle2_med17_19 `2Ola`
  <chr>           <dbl>           <dbl>  <dbl>      <dbl>           <dbl>  <dbl>
1 Total nac…     113148          63962.  76.9      157968         133845.  18.0 
2 Albacete         1600            553  189.         1287           1173.   9.75
3 Alicante/…       3011           2404.  25.3        5852           5082.  15.1 
4 Almería           851            801    6.24       2003           1702   17.7 
5 Araba/Ala…        841            410. 105.         1022            935.   9.34
6 Asturias         2445           1962.  24.6        5157           4207.  22.6 
# ℹ 10 more variables: falle_3Ola <dbl>, falle3_med17_19 <dbl>, `3Ola` <dbl>,
#   falle_4Ola <dbl>, falle4_med17_19 <dbl>, `4Ola` <dbl>, falle_5Ola <dbl>,
#   falle5_med17_19 <dbl>, `5Ola` <dbl>, cluster <int>
datos <- datos[, c("provincia", "1Ola", "2Ola")]
colnames(datos) <- c("provincia", "PrimOla", "SegOla")
resultado <- as.data.frame(resultado)
resultado$provincia <- datos$provincia
colnames(resultado) <- c("PrimOla", "SegOla", "provincia")



# Gráfico de puntos
g1 <- ggplot(datos, aes(PrimOla, SegOla, label = provincia)) +
  geom_point(aes(colour = factor(sub1))) +
  geom_text(hjust = 0, vjust = 0, size = 2, aes(colour = factor(sub1))) +
  labs(colour = "Clusters")

g1

Del anterior gráfico y de los clusters podemos concluir: hay grandes diferencias entre los tres clusters.

  • El Cluster Verde corresponde a las provincias donde la primera ola de COVID generó un gran exceso de mortalidad respecto al año anterior, son los casos de las provincias relativas a la comunidad de Madrid y Castilla-La Mancha.
  • En cambio, el Cluster Azul corresponde a las provincias donde se produjo un mayor exceso de fallecidos en la segunda ola, como son los casos de las provincias relativas a la comunidad de Aragón y Melilla en general.
  • El Cluster Rojo corresponde a las provincias donde hubo un exceso de fallecidos más parecido entre ambas olas, aunque podemos observar algunas diferencias entre algunas de ellas, por ejemplo, en Cataluña hubo un mayor exceso en la primera y en Ceuta hubo un mayor exceso en la segunda.

Notar que estos resultados son en gran medida coherentes con los presentados en el mismo estudio por provincias Autónomas en vez de por provincias.

Con otros métodos de Enlace

Vamos a probar a usar otros métodos de Enlace descritos previamente a ver si seguimos obteniendo los mismos clusters y poder llegar a una conclusión sólida.

# For Complete
plot(hc1, cex = 0.6, sub = "", main = "complete")
rect.hclust(hc1, k = 3, border = 2:5)

# Ward.D method
hc2 <- hclust(d, method = "ward.D")
sub2 <- cutree(hc2, k = 3)

plot(hc2, cex = 0.6, sub = "", main = "ward.D")
rect.hclust(hc2, k = 3, border = 2:5)

# Average method
hc3 <- hclust(d, method = "average")
sub3 <- cutree(hc3, k = 3)

plot(hc3, cex = 0.6, sub = "", main = "average")
rect.hclust(hc3, k = 3, border = 2:5)

# Single method
hc4 <- hclust(d, method = "single")
sub4 <- cutree(hc4, k = 3)

plot(hc4, cex = 0.6, sub = "", main = "single")
rect.hclust(hc4, k = 3, border = 2:5)

g2 <- ggplot(datos, aes(PrimOla, SegOla, label = provincia)) +
  geom_point(aes(colour = factor(sub2))) +
  geom_text(hjust = 0, vjust = 0, size = 2, aes(colour = factor(sub2))) +
  labs(colour = "Clusters") +
  theme(
    axis.text = element_text(size = 6),
    axis.title = element_text(size = 6, face = "bold"), legend.title = element_text(size = 6)
  )

g3 <- ggplot(datos, aes(PrimOla, SegOla, label = provincia)) +
  geom_point(aes(colour = factor(sub3))) +
  geom_text(hjust = 0, vjust = 0, size = 2, aes(colour = factor(sub3))) +
  labs(colour = "Clusters") +
  theme(
    axis.text = element_text(size = 6),
    axis.title = element_text(size = 6, face = "bold"), legend.title = element_text(size = 6)
  )

g4 <- ggplot(datos, aes(PrimOla, SegOla, label = provincia)) +
  geom_point(aes(colour = factor(sub4))) +
  geom_text(hjust = 0, vjust = 0, size = 2, aes(colour = factor(sub4))) +
  labs(colour = "Clusters") +
  theme(
    axis.text = element_text(size = 6),
    axis.title = element_text(size = 6, face = "bold"), legend.title = element_text(size = 6)
  )


library(ggpubr)
ggarrange(g1, g2, g3, g4 + rremove("x.text"),
  labels = c("Complete", "ward.D", "Average", "Simple"),
  ncol = 2, nrow = 2, vjust = 0.9,
  font.label = list(size = 8, color = "black")
)

De 4 tipos diferentes que hemos probado, nos salen 3 que se han clusterizado de igual manera, luego parece razonable la interpretación anterior. Para todos casos menos el de ward,

  • el Cluster Verde corresponde a las provincias donde la primera ola de COVID generó un gran exceso de mortalidad respecto al año anterior, son los casos de las provincias relativas a la comunidad de Madrid y Castilla la Mancha.
  • el Cluster Azul corresponde a las provincias donde se produjo un mayor exceso de fallecidos en la segunda ola, como son los casos de Melilla y Aragón.
  • el Cluster Rojo corresponde a las provincias donde hubo un exceso de fallecidos más parecido entre ambas olas, aunque podemos observar algunas diferencias entre algunas de ellas, por ejemplo, en Cataluña hubo un mayor exceso en la primera y en Ceuta hubo un mayor exceso en la segunda.

Número Clusters Óptimo

Encontrar el número óptimo de clusters implica identificar la cantidad ideal de grupos en los que se pueden dividir los datos de manera significativa y coherente. Es crucial porque determina la calidad y utilidad de los resultados del análisis de agrupamiento.

Método Elbow

Una de las formas comunes de determinar este número es a través del método del codo o elbow en inglés. Este método busca identificar el punto donde la adición de más clusters ya no proporciona un beneficio significativo en la varianza explicada o la cohesión dentro de los grupos.

Al representar la variación explicada en función del número de clusters, observamos un gráfico que se asemeja a la forma de un codo. A medida que aumentamos el número de clusters, la varianza explicada tiende a disminuir. El punto en el que esta disminución se estabiliza o se aplana marca el número óptimo de clusters, indicando un equilibrio entre una mayor partición (más clusters) y una adecuada interpretabilidad de los grupos.

#  Método Elbow
set.seed(785248)
factoextra::fviz_nbclust(resultado, hcut, method = "wss")

El número óptimo de k parece ser 4 que es donde más se reduce la pendiente y la variabilidad explicada no parece disminuir de forma tan rápida. De todos modos, también podría parecer razonable tomar el 3 Es por ello que vamos a usar algún método adicional.

Método Silhouette

El método Silhouette es una técnica utilizada para determinar la calidad de la agrupación en un conjunto de datos. Consiste en calcular el valor de la silueta para cada punto de datos, que mide qué tan similar es un punto a su propio grupo (cohesión) en comparación con otros grupos vecinos (separación).

El proceso implica:

  1. Cálculo de la silueta individual: Para cada punto de datos, se calcula la silueta, que es la diferencia entre la distancia media intra-cluster (distancia al resto de puntos en su mismo grupo) y la distancia media al cluster más cercano (distancia a los puntos del grupo más próximo, excluyendo el propio grupo).

  2. Valor de la silueta global: Se obtiene el promedio de las siluetas individuales de todos los puntos de datos en el conjunto. Contra más cercano a 1, mejor formado estará el cluster.

La siguiente función generará un gráfico que muestra los valores de Silhouette en función del número de clusters. El número óptimo de clusters es típicamente aquel que maximiza el valor de Silhouette, representando una mejor cohesión intra-cluster y separación inter-cluster.

#  Método Silhouette
set.seed(785248)
factoextra::fviz_nbclust(resultado, hcut, method = "silhouette")

Este método nos reafirma que el número óptimo es 2 puesto que es el caso cuyos clusters maximiza el valor de Silhouette, representando una mejor cohesión intra-cluster y separación inter-cluster.

NOTA: Ahora podríamos repetir el estudio anterior con el número de clusters igual a 2 e intentar analizar de nuevo los resultados.

Conclusión

Aquí se han explicado los supuestos del cluster jerárquico con un caso práctico relacionado con el COVID. Se ha indicado como elegir una función de distancia en función de los datos, un número inicial de clusters de acuerdo a los intereses del usuario y una posterior elección óptima de acuerdo con diversos métodos.

Bibliografía

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